Question

1．若不等式lnx-x²+x＜a（x+1）对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 分别令g（x）=lnx-x²+x，h（x）=a（x+1），x∈（0，+∞），利用导数判出函数g（x）在（0，+∞）上的单调性并求其最大值，结合两个函数的图象的大致形状即可求得a的范围．

解答 解：令g（x）=lnx-x²+x，h（x）=a（x+1），x∈（0，+∞），
则$g′（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=$-\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）_max=g（1）=0．
h（x）表示过定点（-1，0）的直线在x∈（0，+∞）的部分，
作出两个函数的简图如图：
由图象可得：a＞0．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，数形结合使问题更加直观，是中档题．