Question

（1）写出函数f（x）=x²-8x+9在定义域内的单调递增和递减区间；
（2）研究函数f（x）=x⁴-8x²+9在定义域内的单调性，写出它在定义域内的单调递增区间，并简要说明理由；
（3）对函数f（x）=x²+bx+c和f（x）=x⁴+bx²+c（其中常数b＜0）作推广，使它们都是你所推广的函数的特例，并研究推广后函数的单调性，（只须写出结论，不必证明）

Answer 1

考点：二次函数的性质,进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据二次函数的单调性即可写出该函数的单调递增和递减区间；
（2）求f′（x）=4x（x²-4），所以可判断f′（x）在（-∞，-2），[-2，0），[0，2]，（2，+∞）上的符号从而判断出f（x）的单调性并求出其单调区间；
（3）可将该问中的两个函数推广为f（x）=x²ⁿ+bxⁿ+c，（b＜0，n∈N^*），通过求f′（x），根据导数符号即可判断该函数的单调性并找出f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）f（x）的对称轴为x=4；
∴该函数的单调递增区间为[4，+∞），单调递减区间为（-∞，4）；
（2）f′（x）=4x³-16x=4x（x²-4）；
∴x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，-2）上单调递减；
x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，所以f（x）在[-2，0）上单调递增；
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，所以f（x）在[0，2]上单调递减；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增；
∴f（x）在定义域内的单调递增区间为[-2，0），（2，+∞）；
（3）把f（x）=x²+bx+c，和f（x）=x⁴+bx²+c推广为：
f（x）=x²ⁿ+bxⁿ+c，（b＜0，n∈N^*）；
f′（x）=2nx^2n-1+bnx^n-1=2nxn-1(xn+

b

2

)；
①若n为偶数，f（x）在（-∞，-

n	- b 2

]，（0，

n	- b 2

]上单调递减，在[-

n	- b 2

，0），（

n	- b 2

，+∞）上单调递增；
②若n为奇数，f（x）在（-∞，0），[0，

n	- b 2

]上单调递减，在（

n	- b 2

，+∞）上单调递增．

点评：考查二次函数的单调性，以及通过求导，根据导数符号判断函数的单调性及找到单调区间的方法，要正确判断f′（x）的符号．