Question

已知△P₁OP₂的面积为

27

4

，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁，OP₂为渐近线且过点P而离心率为

13

2

的双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的离心率，结合a²+b²=c²得到a，b的关系，从而求出双曲线的渐近线方程，进一步求出两渐近线夹角的正弦值，由△P₁OP₂的面积为

27

4

，列式得到P₁、P₂点的横坐标x₁、x₂之间的关系；设出双曲线上一点P，由P为线段P₁P₂的一个三等分点，得到P的坐标与P₁、P₂点的坐标的关系，结合求出的x₁、x₂之间的关系，得到P的横、纵坐标的关系，即双曲线的方程．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由已知得

c

a

=

13

2

，
∴

c2

a2

=

13

4

，即

a2+b2

a2

=

13

4

，∴

b2

a2

=

9

4

，
∴渐近线方程为y=±

3

2

x，
则P₁（x₁，

3

2

x₁），P₂（x₂，-

3

2

x₂），
设渐近线y=

3

2

x的倾斜角为θ，则tanθ=

3

2

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

1+tan2θ

=

2× 3 2

1+ 9 4

=

12

13

，
由于△P₁OP₂的面积为S=

27

4

=

1

2

|OP₁||OP₂|sin2θ
=

1

2

x12+ 9 4 x12

•

x22+ 9 4 x22

•

12

13

，
∴x₁•x₂=

9

2

，
不妨设P分

P1P2

所成的比为λ=2，双曲线上点P（x，y），则
x=

x1+2x2

3

，y=

y1+2y2

3

=

x1-2x2

2

．
∴x₁+2x₂=3x，x₁-2x₂=2y．
∴（3x）²-（2y）²=（x₁+2x₂）2-（x₁-2x₂）2=8x₁x₂=36，
∴

x2

4

-

y2

9

=1．即为双曲线E的方程．

点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，运用△P₁OP₂的面积找关系式，其中涉及到利用切函数表示倍角的弦函数，学生思维有一定难度，同时考查定比分点公式，寻找P点坐标满足的条件思维跨度较大．