Question

设A、B是非空数集，若对任意x∈A，y∈B，都有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数，现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”．
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出下列三个二元函数：
①f（x，y）=

x-y

；②f（x，y）=（x-y）²；③f（x，y）=|x-y|．
其中能够成为关于x，y的广义“距离”的函数的序号是

 

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：阅读型,新定义

分析：先理解所给的定义，根据其中的三个规则百负性，对称性，三角不等式对所给的四个函数进行验证，找出符合条件的函数，填上它的序号

解答： 解：由所给的定义
对于①，由于x-y＞0时，f（x，y）=

x-y

；无意义，故①不对；
∵②f（x，y）=（x-y）²；
∴满足非负性，对称性，
但是x，y互为异号时，z=0时，不满足（x-y）²≤x²+y²，∴不满足三角形不等式，
故②不正确，
对于③f（x，y）=|x-y|，显然f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号，故满足非负性，又|x-y|=|y-x|，故对称性成立，又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|，故第三个性质也满足，③符合题意
故答案为：③

点评：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是理解所给的定义，根据定义的规则进行判断，本题是一个探究型题，一定要对定义理解透彻，严格按定义中所给的规则进行判断，本题考查了推理判断的能力及符号计算的能力