Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数），满足条件
（1）图象过原点；
（2）f（1+x）=f（1-x）；
（3）方程f（x）=x有两个不等的实根试求f（x）的解析式并求x∈[-1，4]上的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由（1）便得到c=0，而根据（2）知x=1是f（x）的对称轴，所以得到b=-2a，所以f（x）=ax²-2ax．所以方程ax²-（2a+1）x=0有两个相等实根0，所以可得到

2a+1

a

=0，a=-

1

2

，所以求得f（x）=-

1

2

x2+x，根据二次函数的图象即可求得该函数在[-1，4]上的值域．

解答： 解：由（1）得，c=0；
由（2）知，f（x）的对称轴为x=1，∴-

b

2a

=1，b=-2a；
∴f（x）=ax²-2ax；
∴由（3）知，ax²-（2a+1）x=0有两个相等实根；
∴

2a+1

a

=0；
∴a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

；
∴f（x）在[-1，4]上的值域为[f（4），f（1）]=[-4，

1

2

]．

点评：考查曲线上点的坐标和曲线方程的关系，根据f（1+x）=f（1-x）能得出二次函数f（x）的对称轴，以及解一元二次方程，根据二次函数的图象或二次函数图象上的点到对称轴的距离求二次函数在闭区间上的值域．