Question

6．在△ABC中，已知$AB=\sqrt{3}$，$C=\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可先画出图形，对$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$的两边平方，进行数量积的运算即可得到$3=|\overrightarrow{CB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$，根据不等式a²+b²≥2ab即可得到$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤3$，这样便可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$；
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}+{\overrightarrow{CA}}^{2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$；
∴$3=|\overrightarrow{CB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$$≥2|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$；
即$|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|≤3$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a²+b²≥2ab的运用．