Question

若存在x∈[2，+∞），使不等式

1+ax

x•2x

≥1成立，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：依题意知，a≤2^x-

1

x

，构造函数y=2^x-

1

x

，通过导数法可判断y=2^x-

1

x

在[2，+∞）上是增函数，从而可求y_min，继而可得实数a的最小值．

解答： 解：∵存在x∈[2，+∞），使不等式

1+ax

x•2x

≥1成立，
∴1+ax≥x•2^x，即a≥2^x-

1

x

，
令y=2^x-

1

x

，
则y′=2^xln2+

1

x2

＞0，
∴y=2^x-

1

x

，在[2，+∞）上是增函数，
∴当x=2时，y取得最小值，y_min=2²-

1

2

=

7

2

，
∴a≥

7

2

，即实数a的最小值为

7

2

．
故答案为：

7

2

．

点评：本题考查分式不等式的解法，着重考查构造函数思想及恒成立问题，考查函数单调性的应用，属于难题．