题目内容
下列命题正确的是（ ）：
①“2＜x＜6”是“x2-4x-12＜0”的必要不充分条件
②函数f（x）=tan2x的对称中心是（
，0）（k∈Z）
③“?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3-x2+1＞0”；
④设常数a使方程sinx+
cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3则x1+x2+x3=
．
①“2＜x＜6”是“x2-4x-12＜0”的必要不充分条件
②函数f（x）=tan2x的对称中心是（
| kπ |
| 2 |
③“?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3-x2+1＞0”；
④设常数a使方程sinx+
| 3 |
| 7π |
| 3 |
| A、①③ | B、②③ | C、②④ | D、③④ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①由x2-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，可得“2＜x＜6”是“x2-4x-12＜0”的充分不必要条件；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=
，（k∈Z），即可得出函数f（x）=tan2x的对称中心；
③取x=-1，则x3-x2+1=-1＜0，即可判断出；
④sinx+
cosx=a化为sin(x+
)=
，由于常数a使方程sinx+
cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则
=
，解得即可．
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=
| kπ |
| 2 |
③取x=-1，则x3-x2+1=-1＜0，即可判断出；
④sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：
解：①由x2-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，因此“2＜x＜6”是“x2-4x-12＜0”的充分不必要条件，不正确；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=
，（k∈Z）因此函数f（x）=tan2x的对称中心是（
，0）（k∈Z），正确；
③取x=-1，则x3-x2+1=-1＜0，因此“?x∈R，x3-x2+1＞0”不正确；
④sinx+
cosx=a化为sin(x+
)=
，由于常数a使方程sinx+
cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，
则
=
，解得x+
=
，π-
，2π+
，
∴x1+x2+x3=
，正确．
综上可得：只有②④正确．
故选：C．
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=
| kπ |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
③取x=-1，则x3-x2+1=-1＜0，因此“?x∈R，x3-x2+1＞0”不正确；
④sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
则
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴x1+x2+x3=
| 7π |
| 3 |
综上可得：只有②④正确．
故选：C．
点评：本题考查了简易逻辑的判断、三角函数的图象与性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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