Question

设f（x）=

-2x+m

2x+1+n

（m＞0，n＞0）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（

1

4

）＜0的解集．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）举出反例即可得证，比如计算f（-1），f（1）即可；
（2）运用奇函数的定义：f（-x）=-f（x），化简得到恒等式，解方程，即可求得m，n；
（3）判断f（x）是R上单调减函数，再由奇函数可得f（f（x））+f（

1

4

）＜0，即为f（x）＞-

1

4

，运用指数函数的单调性，即可解得．

解答： 解：（1）当m=n=1时，f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
由于f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），
则f（x）不是奇函数；        
（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+m

2-x+1+n

=-

-2x+m

2x+1+n

对定义域内任意实数x成立．        
化简整理得（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，
这是关于x的恒等式，即有

2m-n=0 2mn-4=0

，
解得

m=-1 n=-2

或

m=1 n=2

．                          
经检验

m=1 n=2

符合题意．                                      
（3）由（2）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)，
易判断f（x）是R上单调减函数；
由f(f(x))+f(

1

4

)＜0得：f(f(x))＜f(-

1

4

)⇒f(x)＞-

1

4

⇒2x＜3
解得，x＜log₂3，
即f（x）＞0的解集为（-∞，log₂3）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．