Question

已知函数f（x）=ax²-|x-a|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=3时，求不等式即3x²-|x-3|＞7，运用绝对值的定义，可得不等式组，分别解出它们，再求并集即可；
（2）根据绝对值的定义得到分段函数，分当0＜a≤

2

4

时，

2

4

＜a≤

1

2

时，当

1

2

＜a≤

2

2

时，当a≥

2

2

时，四种情况，分别根据函数f（x）的单调性求得函数的最小值，综合可得结论．

解答： 解：（1）当a=3时，不等式f（x）＞7，
即 3x²-|x-3|＞7，
∴①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．
解①求得x≥3，解②求得x＜-2，或

5

3

＜x＜3．
综上，不等式的解集为{x|x＜-2，或x＞

5

3

}．
（2）由于a＞0时，函数f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a，x≥a ax2+x-a，x＜a

，
当x≥a时，f（x）=a（x-

1

2a

）²+a-

1

4a

，
当x＜a时，f（x）=a（x+

1

2a

）²-a-

1

4a

．
当0＜a＜

2

2

时，a＜

1

2a

，f（x）在x≥a上的最小值为a-

1

4a

，
而f（x）在0＜x＜a上递增，f（0）取得最小，且为-a，
①当0＜a≤

2

4

时，a-

1

4a

≤-a，则有f（x）在[0，+∞）上的最小值为a-

1

4a

；
②

2

4

＜a≤

1

2

时，a-

1

4a

＞-a，则f（x）在[0，+∞）上的最小值为-a；
③当

1

2

＜a≤

2

2

时，a-

1

4a

＞0，则f（x）在[0，+∞）上的最小值为-a．
当a≥

2

2

时，a＞

1

2a

，f（x）在x≥a上递增，f（a）最小，且为a³＞0，
而在0≤x＜a时，f（x）递增，则有f（0）取得最小，且为-a＜0，
则函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为-a；
综上可得，当0＜a≤

2

4

时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为a-

1

4a

；
当a＞

2

4

时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为-a．

点评：本题主要考查绝对值的函数的性质，绝对值不等式的解法，二次函数的图象和性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．