Question

15．如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p₁，p₂，…，p_n，则称H=f（p₁）+f（p₂）+…f（p_n）（其中f（x）=-xlog_ax，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$．
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A₁，A₂，…，A_n）参加，若当k=1，2，…，n-1时，选手A_k获得冠军的概率为2^-k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．

Answer 1

分析 （1）由$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$，可得$-\frac{1}{2}{log_a}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解之得a=2，由32种情形等可能，故${P_k}=\frac{1}{32}（k=1，2，…，32）$，即可求“谁被选中”的信息熵的大小；
（2）$H=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，利用错位相减法，可得结论．

解答 解：（1）由$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$，可得$-\frac{1}{2}{log_a}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解之得a=2．…（2分）
由32种情形等可能，故${P_k}=\frac{1}{32}（k=1，2，…，32）$，…（4分）
所以$H=32×（-\frac{1}{32}{log_2}\frac{1}{32}）=5$，
答：“谁被选中”的信息熵为5．                           …（6分）
（2）A_n获得冠军的概率为$1-（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）=1-（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，…（8分）
当k=1，2，…，n-1时，$f（{p_k}）=-{2^{-k}}{log_2}{2^{-k}}=\frac{k}{2^k}$，又$f（{p_n}）=\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
故$H=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，…（11分）$\frac{1}{2}H=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+…+\frac{n-2}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n-1}{2^n}$，
以上两式相减，可得$\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，故$H=2-\frac{4}{2^n}$，
答：“谁获得冠军”的信息熵为$2-\frac{4}{2^n}$． 　　　             …（14分）

点评 本题考查新定义，考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．