Question

6．已知函数f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$，给出如下三个命题：
p₁：?a∈R，使得函数y=f（x）的偶函数；
p₂：若a=-3，则y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有零点；
p₃：?a∈（-∞，-2]，函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增；
则下列命题正确的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． p₁∧p₂
• C． p₂∧p₃
• D． p₁∧（￢p₃）

Answer 1

分析 举出正例a=2，可判断命题p₁；将a=-3代入，判断函数的零点个数，可判断命题p₂，求出使函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增的a的范围，可判断命题p₃；

解答 解：当a=2时，函数f（x）=2^x+1+$\frac{2}{{2}^{x}}$，满足f（-x）=f（x），
使得函数y=f（x）的偶函数，故命题p₁是真命题；
当a=-3时，f（x）=2^x+1-$\frac{3}{{2}^{x}}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
则y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上无零点，故命题p₂是假命题；
当a＜0时，函数f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$为增函数，若函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，只须f（-$\frac{1}{2}$）≥0，
即-1≤a≤0时，函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，故命题p₃是假命题；
故命题￢p₁，p₁∧p₂，p₂∧p₃均为假命题，
命题p₁∧（￢p₃）为真命题，
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点等知识点，难度中档．