Question

1．已知动点M到点（8，0）的距离等于M到点（2，0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx-5与轨迹C没有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设动点坐标M（x，y）利用两点之间的距离公式建立关系，可得M的轨迹方程．
（2）解法一：由（1）可知轨迹C是圆，利用圆心到直线的距离大于半径，可求k的取值范围．
解法二，直线y=kx-5与轨迹C联立方程组，消去x（或y），利用判别式△＜0，没有交点k的取值范围．

解答 解：（1）由题意：设动点坐标M（x，y），则$\sqrt{（x-8）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得：x²+y²=16．
即动点M的轨迹C的方程为：x²+y²=16．
（2）解法一：由（1）可知轨迹C是圆，圆心（0，0），半径r=4，
由圆心到直线的距离d$\frac{|5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＞4$，
解得：$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
解法二：直线y=kx-5与轨迹C联立方程组，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\\{y=kx-5}\end{array}\right.$，消去y，并化简可得：（1+k²）x²-10kx+9=0，
∵直线y=kx-5与轨迹C没有交点，
所以：△=b²-4ac=100k²-36（1+k²）＜0，
即16k²-9＜0，
解得：$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
故得k的取值范围是（$-\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题主要考查轨迹方程的求法和直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆没有交点即判别式小于0（或者利用圆心到直线的距离大于半径）求解是关键．属于基础题．