题目内容
已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为 ．
考点：点到直线的距离公式
专题：直线与圆
分析：过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC=
且AB=
，从而得到△ABC面积S=
AB•AC=
，利用正弦函数的有界性，可得θ=
时△ABC面积有最小值h1•h2．
| h1 |
| cosθ |
| h2 |
| sinθ |
| 1 |
| 2 |
| h1h2 |
| sin2θ |
| π |
| 4 |
解答：
解：
过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，
则AF=h1，AE=h2，
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=
，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=
，
∴△ABC面积为S=
AB•AC=
，
∵θ∈（0，
）
∴当且仅当θ=
时，sin2θ=1达到最大值1，
此时△ABC面积有最小值h1•h2，
故答案为：h1•h2
过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AF=h1，AE=h2，
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=
| h1 |
| cosθ |
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=
| h2 |
| sinθ |
∴△ABC面积为S=
| 1 |
| 2 |
| h1h2 |
| sin2θ |
∵θ∈（0，
| π |
| 2 |
∴当且仅当θ=
| π |
| 4 |
此时△ABC面积有最小值h1•h2，
故答案为：h1•h2
点评：此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．
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