Question

设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（-x）+f（x）=x²，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：令g（x）=f（x）-

1

2

x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范围．

解答： 解：令g（x）=f（x）-

1

2

x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-

1

2

x²+f（x）-

1

2

x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等价于f（2-a）-

(2-a)2

2

≥f（a）-

a2

2

，即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．