Question

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，4sin²

B+C

2

-cos²A=

11

4

．
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）若a=

3

，b+c=3，求b和c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左边第一项利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出cosA的值，即可确定出角A的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA代入得到b与c的关系式，与b+c=3联立即可求出b与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知等式变形得：4cos²

A

2

-cos²A=4×

1+cosA

2

-cos²A=2+2cosA-cos²A=

11

4

，
整理得：4cos²A-8cosA+3=0，
解得：cosA=

1

2

或cosA=

3

2

（舍去），
∴A=60°；
（Ⅱ）∵a=

3

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即3=b²+c²-bc①，
又b+c=3②，
联立解得：b=2，c=1或b=1，c=2．

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式的作用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．