Question

【题目】已知抛物线C：y2=4x与椭圆E：1（a＞b＞0）有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点P（1，）的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由抛物线的定义可得,则M（,）,再由椭圆的定义可得,即可求得,进而求解；

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,利用斜率公式可得,即可得到直线AB的方程,再由点到直线距离可得点到直线的距离,联立抛物线和直线,进而利用弦长公式求得,则,即可求解.

（1）由抛物线方程可得F（1,0）,则椭圆的另一个焦点,

因为,∴M（,）,

则2a4,则a=2,

所以,

所以椭圆E的标准方程为.

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,点P（1,）在椭圆上,则Q（﹣1,）,

因为P为AB的中点,且,

则kAB,

故直线AB的方程为y（x﹣1）,即8x﹣6y+1=0,

∴Q到直线AB的距离,

联立,整理得64x2﹣128x+1=0,

故x1+x2=2,x1x2,

则,

所以.