Question

在三角形ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，则下列结论中正确的是

 

（填上所有正确结论的序号）
（1）b²≥ac（2）

1

a

+

1

c

≤

2

b

（3）b²≤

a2+c2

2

（4）tan²

B

2

≤

1

3

．

Answer 1

考点：解三角形

专题：解三角形

分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用基本不等式得到a+c≥2

ac

，把2b=a+c代入得到结果，即可对于选项（1）做出判断；选项（2）中不等式左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，把选项（1）的结论代入即可做出判断；利用作差法判断选项（3）即可；利用余弦定理表示出cosB，把2b=a+c代入并利用基本不等式化简求出cosB的范围，确定出B的范围，即可求出tan²

B

2

的范围，做出判断．

解答： 解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，
∵a+c≥2

ac

，
∴2b≥2

ac

，即b²≥ac，选项（1）正确；

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

，选项（2）错误；
∵b²-

a2+c2

2

=

(a+c)2

4

-

a2+c2

2

=-

(a-c)2

4

≤0，选项（3）正确；
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4a2+4c2-(a+c)2

8ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
则tan²

B

2

≤

1

3

，选项（4）正确，
故答案为：（1）（3）（4）

点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：等差数列的性质，基本不等式的运用，余弦定理，以及正切函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．