Question

若关于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0（n∈N^*），
（Ⅰ）求当n=1时，求不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0的解集；
（Ⅱ）当x∈（-∞，λ]时恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当n=1时，不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0等价为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；
（Ⅱ）当x∈（-∞，λ]时恒成立，将不等式恒成立转化为函数的最值之间的关系，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，不等式x²+

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2

x-（

1

2

）ⁿ≥0等价为x²+

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2

x-

1

2

≥0，
即（x-

1

2

）（x+1）≥0，
解得x≥

1

2

或x≤-1，
即不等式的解集为{x|x≥

1

2

或x≤-1}；
（Ⅱ）由式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0得式x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ，
即x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max恒成立，
∵（

1

2

）ⁿ_max=

1

2

，
即x²+

1

2

x≥

1

2

在x∈（-∞，λ]时恒成立，
设f（x）=x²+

1

2

x=（x+

1

4

）²-

1

16

，对称轴x=-

1

4

，
当x≤-

1

4

时，函数单调递减，要使不等式恒成立，
则有λ2+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，
当x＞-

1

4

时，
左边的最小值在x=-

1

4

处取得，
此时x²+

1

2

x=

1

16

-

1

8

=-

1

16

不成立，
综实数λ的取值范围是λ≤-1．

点评：本题主要考查不等式的解法，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为函数的最值问题是解决本题的关键，考查学生的计算能力．