Question

15．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-4y+1≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域为M，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3≥0}\\{2x+2y-3≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域为N，若M中存在点在圆C：（x-3）²+（y-1）²=r²（r＞0）内，但N中不存在点在圆C内．则r的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]
• B． （$\frac{\sqrt{13}}{2}$，$\sqrt{17}$）
• C． （0，$\sqrt{17}$）
• D． （0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用区域与圆的位置关系，转化为点到直线的距离问题进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，圆心坐标C（3，1），在直线x+y-4=0上，则M一定存在点在圆C内，
只要保证N中不存在点在圆C内，即可，
当圆和直线2x+2y-3=0相切时，圆和区域N开始有交点，
此时圆心C到直线2x+2y-3=0的距离d=$\frac{|2×3+2×1-3|}{\sqrt{4+4}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$═$\frac{6}{\sqrt{13}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
若N中不存在点在圆C内，
则0＜r＜$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的计算，根据条件利用数形结合转化点到直线的距离问题是解决本题的关键．