Question

已知函数f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,半角的三角函数

专题：计算题

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用和差化积公式变形为一个角的余弦函数，
（2）根据余弦函数的定义域与值域求出f（x）的最大值，对于任意的x∈[0，

π

2

]，求出函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

3

）-（1-cos2x）]=

1

2

[cos（2x-

π

3

）+cos2x]=cos

π

6

cos（2x-

π

6

）=

3

2

cos（2x-

π

6

），
f(

π

12

)=

3

2

cos（2×

π

12

-

π

6

）=

3

2

．
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴-

3

2

≤cos（2x-

π

6

）≤1，
则

3

2

cos（2x-

π

6

）∈[-

3

4

，

3

2

]，
∴函数y=f（x）的值域：[-

3

4

，

3

2

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及余弦函数的单调性及对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．