Question

19．已知函数f（x）=|3x-a|+|3x-6|，g（x）=|x-2|+1．
（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；
（Ⅱ）若对任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）讨论x的范围，去绝对值符号解出不等式；
（II）分别求出f（x），g（x）的最小值，令f_min（x）≥g_min（x）解出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x-1|+|3x-6|，
当x≤$\frac{1}{3}$时，不等式为：7-6x≥8，解得x≤-$\frac{1}{6}$，∴x≤-$\frac{1}{6}$，
当$\frac{1}{3}$＜x＜2时，不等式为：5≥8，无解，
当x≥2时，不等式为6x-7≥8，解得x≥$\frac{5}{2}$，∴x≥$\frac{5}{2}$，
综上，f（x）≥8的解集是（-∞，-$\frac{1}{6}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵对任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴f_min（x）≥g_min（x），
∵f（x）=|3x-a|+|3x-6|≥|3x-a-（3x-6）|=|6-a|，g（x）=|x-2|+1≥1，
∴|6-a|≥1，
解得a≥7，或a≤5．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值函数的最值计算，属于中档题．