题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点（
2
，
6
2
）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B分别是椭圆C的左右顶点，直线经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，直线AP交于点M，设直线OM，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用椭圆C的焦距为2，可得a2-b2=1，根据点（
2
，
6
2
）在椭圆C上，求出参数a，b，即可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：法1：由条件可得直线PB的方程，代入椭圆方程，求出P的坐标，可得PA的方程，令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，即可证明结论；法2：利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；
解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C的焦距为2，
∴c=1，∴a2-b2=1①--（2分）
又点(
2
，
6
2
)在椭圆C上⇒
2
a2
+
3
2b2
=1②--（4分）
联立①②得a2=4，b2=3，或a2=
1
2
＜1（会去）
故椭圆C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1．--（6分）
（Ⅱ）证明：法1：由条件可得直线PB的方程为：y=k2（x-2），设P（xP，yP）．
由
y=k2(x-2)
x2
4
+
y2
3
=1
，得(3+4k22)x2-16k22x+16k22-12=0（*）--（8分）
易知xP，2为（*）方程的两根，则2xP=
16
k
2
2
-12
3+4
k
2
2
，
∴xP=
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
，yP=
-12k2
3+4
k
2
2
，
则kPA=
-12k2
3+4
k
2
2
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
+2
=-
3
4k2
．--（10分）
故直线PA的方程为：y=-
3
4k2
(x+2)．
令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，则k1=
-
3
k2
2
=-
3
2k2
，∴k1k2=-
3
2
．--（12分）
法2：P（xP，yP）（xp≠±2），M（2，yM），则k2=
yP
xP-2
，且
xP2
4
+
yP2
3
=1．
又A，P，M三点共线，则
AP
∥
AM
．
∵
AP
=(xP+2，yP)，
AM
=(4，yM)，
∴4yP=yM(xP+2)⇒yM=
4y P
xP+2
．
则k1=
2yP
xp+2
，∴k1k2=
2yP
xP2-4
=
6(1-
xP2
4
)
xP2-4
=-
3
2
．
点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2-4ax+2a+12的值域为集合M，集合N={y|y=
x
}，M∩N=M．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求关于x的方程
x
a+2
=|a-1|+2的根的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
2
2
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F1（-1，0），F2（1，0），若过F1的直线交曲线C于A、B两点，求
F2A
•
F2B
的取值范围．
在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆G与抛物线y2=-4x有一个公共的焦点，且过点（-
6
2
，1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，试证明
1
kk1
+
1
kk2
为定值，并求出这个定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F2Q⊥F2P，设F2Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．
在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．
（1）求轨迹P的方程；
（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；
（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x2+（y-1）2=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由．
若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2
ab
-（4a2+b2） 的最大值是
 
．
如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是
 
．
已知直线l的参数方程为：
x=-2+tcosα
y=tsinα
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的参数方程；
（Ⅱ）当α=
π
4
时，求直线l与曲线C交点的极坐标．
下列说法正确的是（　　）
A、当直线l1与l2的斜率k1，k2满足k1•k2=-1时，两直线一定垂直
B、直线Ax+By+C=0的斜率为-
A
B
C、过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程
y-y1
y2-y1
=
x-x1
x2-x1
D、经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

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