Question

10．正数数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=ba_n+1（b是常数，n=1，2，3，…），且a₁-1，a₂+1，a₃-1成等差数列．
（1）求b的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁-1，a₂+1，a₃-1成等差数列，可得2（a₂+1）=a₃-1+a₁-1，利用a₁=3，a_n+1=ba_n+1，可得a₂，a₃，代入解出即可得出．
（2）a_n+1=2a_n+1，变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁-1，a₂+1，a₃-1成等差数列，
∴2（a₂+1）=a₃-1+a₁-1，
∵a₁=3，a_n+1=ba_n+1，
∴a₂=3b+1，a₃=（3b+1）b+1，
∴2（3b+1+1）=（3b+1）b+1-1+3-1，
解得b=2或-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴b=2．
（2）a_n+1=2a_n+1，
变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为4．
∴a_n+1=4×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n
=2ⁿ⁺²-4-n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．