Question

6．设A、B是抛物线y²=2x上异于原点的不同两点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为t的函数，由配方即可得到所求最小值．

解答 解：设直线AB的方程为x=my+t，
代入抛物线y²=2x，可得
y²-2my-2t=0，
由题意可得△=4m²+8t＞0，且t≠0，
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2t，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4}$+y₁y₂=t²-2t=（t-1）²-1，
当t=1时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取得最小值-1．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的最值的求法，直线与抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，正确设出抛物线上点的坐标，运用二次函数的最值求法是解题的关键．