Question

【题目】如图，在矩形中，，，分别在线段和上，且，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）点为线段的中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；(2).

【解析】

（1）先证，再由面面垂直推证平面，即可由线面垂直推证面面垂直；

（2）将问题转化为求的体积，结合几何关系，即可容易求得结果.

（1）延长交于点，交于，四边形如下图所示：

因为，故可得，

故可得，

又因为，

则，

在中，，

故可得，

因为平面平面，且交线为，

又因为平面，

故可得平面.

又平面，

故可得平面平面.即证.

（2）因为为中点，

故到平面的距离为到平面距离的；

又因为//，平面，

故//平面，

则点到平面的距离与到平面的距离相等.

故.

取中点为，连接，如下图所示：

因为，故可得，

又因为平面平面，且交于，

平面，

故平面，即平面.

即为到平面的距离.

又因为，，

故.

在中，因为，，

故，解得.

故.

即三棱锥的体积为.