Question

【题目】如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，底面ABCD，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明平面PAC，得证面面垂直；

（2）对几何体切割，根据求解体积.

（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，

连接OF，EF，如答图所示.

∵O，F分别为AC，PC的中点，

∴，且，

∵，且，

∴，且，

∴四边形OFED为平行四边形，

∴，即.

∵平面ABCD，平面ABCD，∴.

∵四边形ABCD是菱形，∴.

∵，∴平面PAC.

∵，∴平面PAC.

∴面PCE，∴平面平面PCE.

（2），所以三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形，

底面ABCD，

底面ABCD，底面APD，所以平面底面ABCD，

所以C到平面APD的距离为

所以多面体的体积.