Question

【题目】已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）设出圆心坐标，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离，确定出圆心坐标，即可得出圆方程；

（2）当直线轴，则轴平分，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立圆与直线方程，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若轴平分，则，求出的值，确定出此时坐标即可.

（1）设圆心，

∵直线：，半径为2的圆与相切，

∴，即，

解得：或（舍去），

则圆方程为；

（2）当直线轴，则轴必平分，

此时可以为轴上任一点，

当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，，，，

由得，经检验，

∴，，

若轴平分，设为，

则，即，

整理得：，即，

解得：，

综上，当点，使得轴平分.