Question

【题目】四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，二面角S-BD-C的余弦值为．

（I）证明：平面平面SBD；

（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）见解析（Ⅱ）

【解析】

(I) 连接AC，交BD于点O．连接SO易证得,即平面SAO,得到,利用余弦定理解得,由可证得,即可得到平面SBD,即可证得结论;

(Ⅱ)建系,设和分别为平面SAD、平面SCD的法向量，求出法向量,利用公式计算即可得出结果.

（Ⅰ）连接AC，交BD于点O．连接SO菱形ABCD中，，且O是AC和BD的中点．

因为，所以，

是二面角S-BD-C的平面角，

即，．

又，所以平面SAC，．

中，由余弦定理知：

．

所以，即，，

又，所以平面SBD，

又平面SAB，所以平面SAB⊥平面SBD．

（Ⅱ）如图，分别以，为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则点，，

，，

，．

设和分别为平面SAD、平面SCD的法向量，

则由，得，

取，

由，得．

取．

．

故二面角A-SD-C的余弦值为．