Question

8．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．椭圆C的左顶点为A．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作直线l与椭圆C交于另一点B．若直线l交y轴于点C，且OC=BC，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的离心率求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，将（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值．
（2）依题意，直线l的斜率k存在，设直线l的方程为：y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．利用韦达定理、弦长公式表达且OC=BC，即可解得斜率．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
所以椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由已知得直线l的斜率k存在，故设直线l的方程为：y=k（x+2）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
（（△=（16k²）²-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0恒成立．
令B（x_B，y_B），C（0，y_C），由-2x_B=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{B}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
可得C（0，2k），OC=|2k|，|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_B-0|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|
且OC=BC，∴|2k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴直线l的斜率为$±\frac{\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，计算能力，属于中档题．