Question

13．在直角坐标系xOy中，设圆的方程为（x+2$\sqrt{2}$）²+y²=48，F₁是圆心，F₂（2$\sqrt{2}$，0）是圆内一点，E为圆周上任一点，线EF₂的垂直平分线EF₁的连线交于P点，设动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l（与x轴不重合）与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点M．
      （i）是否存在定点M，使得$\frac{1}{|MA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|MB{|}^{2}}$为定值，若存在，求出点M坐标及定值；若不存在，请说明理由；
      （ii）在满足（i）的条件下，连接并延长AO交曲线C于点Q，试求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由足$P{F}_{1}+P{F}_{2}=E{F}_{2}=4\sqrt{3}$，且4$\sqrt{3}$＞丨F₁F₂丨，则点P的轨迹为以F₁、F₂为焦点，长轴为4$\sqrt{3}$的椭圆，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设直线l的方程，代入椭圆方程，由$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$，利用韦达定理可知2t²+24=72-6t²，即可求得t的值，$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=1；
（ii）利用弦长公式，求得丨AB丨，利用点到直线距离公式，换元，即可求得△ABQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵圆的方程为（x+2$\sqrt{2}$）²+y²=48的圆心F₁为（-2$\sqrt{2}$，0），半径为4$\sqrt{3}$．
依题意点P满足$P{F}_{1}+P{F}_{2}=E{F}_{2}=4\sqrt{3}$，且4$\sqrt{3}$＞丨F₁F₂丨，
故点P的轨迹为以F₁、F₂为焦点，长轴为4$\sqrt{3}$的椭圆
∴曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

（Ⅱ）（i）设M（t，0），设直线l的方程：x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（m²+3）y²+2mty+t²-12=0，
y₁+y₂=-$\frac{2mt}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-12}{{m}^{2}+3}$，
$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$，$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$，
则$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{（2{t}^{2}+24）{m}^{2}+72-6{t}^{2}}{（{t}^{2}-12）{m}^{2}+（{t}^{2}-12）^{2}}$，
当2t²+24=72-6t²，即t²=6时，$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=1，
此时M的坐标为（±$\sqrt{6}$，0），
综上，存在点M（±$\sqrt{6}$，0），使得$\frac{1}{丨MA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨MB{丨}^{2}}$=1，
（ii）由（i）可知：t²=6，则丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$丨y₁-y₂丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{2{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
原点O直线AB的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，S_△ABQ=4×$\frac{1}{2}$×$\frac{丨AB丨}{2}$=$\frac{12\sqrt{2{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
令$\sqrt{2{m}^{2}+3}$=μ∈[$\sqrt{3}$，+∞），则S_△ABQ=$\frac{24μ}{{u}^{2}+3}$=$\frac{24}{μ+\frac{3}{μ}}$≤$\frac{24}{2\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$，
当且仅当t=$\sqrt{3}$，即m=0取最大值，
∴△ABQ面积的最大值4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．