Question

18．已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（1）若a=4，求y=f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，根据3是函数y=f（x）的极值点，得到关于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可．

解答 解：（1）a=4时，f（x）=2x³-15x²+24x，
f′（x）=6x²-30x+24=6（x²-5x+4）（x-4）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜4，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜4，
故f（x）在（-∞，1）递增，在（1，4）递减，在（4，+∞）递增；
（2）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
∵3是函数y=f（x）的极值点，
∴f′（3）=0，即6×3²-6（a+1）×3+6a=0，
解得：a=3，
∴f（x）=2x³-12x²+18x，
f′（x）=6x²-24x+18，
则f（0）=0，f′（0）=18，
∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程是：y=18x；

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及分类讨论思想，是一道中档题．