Question

给出以下四个命题：
（1）若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形；
（2）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形；
（3）若tanAtanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
（4）△ABC中，a=2，b=3，C=60°，则三角形为锐角三角形．
以上正确命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形,简易逻辑

分析：对于（1），在三角形内由角的正弦值相等得到角相等加以判断；
对于（2），由三角函数的有界性结合已知条件得到A=B=C；
对于（3），由tanAtanB＞1得到tanAtanB＞0，进一步得到cosAcosB＞0，移项后结合两角和的余弦得答案；
对于（4），通过解三角形求出c，判断出最大角，再由余弦定理判断最大角为锐角得答案．

解答： 解：对于（1），若sinA=sinB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π，
∴A=B，
△ABC为等腰三角形．命题（1）正确；
对于（2），若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1，
又-π＜A-B＜π，-π＜B-C＜π，-π＜C-A＜π，
∴cos（A-B）=1，cos（B-C）=1，cos（C-A）=1，
则A-B=0，B-C=0，C-A=0，故A=B=C，△ABC为正三角形．命题（2）正确；
对于（3），若tanAtanB＞1，说明tanAtanB＞0，
∵sinAsinB＞0，
∴cosAcosB＞0，这说明A和B同为锐角或者同为钝角，
又A和B均为三角形内角，
∴A、B同为锐角，由此有sinAsinB＞cosAcosB，
∴cosAcosB-sinAsinB＜0，即cos（A+B）＜0，
∴

π

2

＜A+B＜π，由此C＜

π

2

．
因此△ABC一定是锐角三角形．命题（3）错误；
对于（4），若a=2，b=3，C=60°，
根据余弦定理，得c²=2²+3²-2×2×3cos60°=7．
∴c=

7

，可得a＜c＜b，
∴A＜C＜B，因此B是△ABC中的最大角，
∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

7

14

＞0，而B∈（0，π），
∴B是锐角，从而A、C均为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．命题（4）正确．
∴正确命题的个数是3个．
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形形状的判定，训练了学生的逻辑思维能力，是中档题．