Question

15．《中国诗词大会》第二季总决赛已于2017年2月初完美收官，来自全国各地的选手们通过答题竞赛的方式传播中国古诗词，从诗经、汉魏六朝诗、唐宋诗词、明清诗词-直到毛泽东诗词，展现了对中国传统文化经典的传承与热爱，比赛采用闯关的形式，能闯过上一关者才能进人下一关测试，否则即被淘汰．已知某选手能闯过笫一、二、三关的概率分别为$\frac{4}{5}，\frac{3}{5}，\frac{2}{5}$，且能否闯过各关互不影响．
（1）求该选手在第3关被淘汰的概率；
（2）该选手在测试中闯关的次数记为X，求随机变量X的分布列与数学期塑．

Answer 1

分析 （1）根据互斥事件的概率计算公式，求出该选手在过第3关被淘汰的概率；
（2）根据X的可能取值，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）记“该选手能过第i关”的事件为A_i（i=1，2，3），
则$P（{A_1}）=\frac{4}{5}，P（{A_2}）=\frac{3}{5}，P（{A_3}）=\frac{2}{5}$，
所以该选手能在过第3关被淘汰的概率为
$P=P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}}）=P（{A_1}）P（{A_2}）P（{\overline{A_3}}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}$；
（2）X的可能取值为1，2，3，
所以P（X=1）=P（$\overline{{A}_{1}}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=P（A₁$\overline{{A}_{2}}$）=P（A₁）（$\overline{{A}_{2}}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{25}$，
$P（{X=3}）=P（{{A_1}{A_2}}）=P（{A_1}）P（{A_2}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$，
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{12}{25}$

数学期望为E（X）=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{8}{25}$+3×$\frac{12}{25}$=$\frac{57}{25}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．