Question

8．已知f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx（ω＞0）的值域为A，若对任意a∈R，存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x₁），f（x₂）]=A，设x₂-x₁的最小值为g（ω），则g（ω）的值域为（0，1]．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，结合题意可得函数f（x）的周期小于或等于2，即$\frac{2π}{2ω}$≤2，求得ω≥$\frac{π}{2}$，根据x₂-x₁的最小值为半个周期，可得g（ω）=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≤$\frac{π}{π}$=1，由此可得g（ω）的值域．

解答 解：已知f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx=（sin²ωx+cos²ωx ）•（sin²ωx-cos²ωx ）
=-cos2ωx（ω＞0）的值域为A=[-1，1]，
若对任意a∈R，存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x₁），f（x₂）]=A，则f（x₁）=-1，f（x₂）=1，
故函数f（x）的周期小于或等于2，即$\frac{2π}{2ω}$≤2，故有ω≥$\frac{π}{2}$，
根据x₂-x₁的最小值为半个周期，可得g（ω）=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≤$\frac{π}{π}$=1，
则g（ω）的值域为（0，1]，
故答案为：（0，1]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，余弦函数的周期性，属于中档题．