Question

在直角坐标系中，以原点O为圆心，r为半径的圆与直线

3

x-y+4=0相切．
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点（其中点B在x轴正半轴上）动点P满足|PA|+|PB|=4r，求动点P的轨迹方程
（3）过点B有一条直线l，l与直线

3

x-y+4=0平行且l与动点P的轨迹相交于C、D两点，求△OCD的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于以原点O为圆心，r为半径的圆与直线

3

x-y+4=0相切．可得r=

4

( 3 )2+1

=2，即可得出；
（2）对于x²+y²=4，令y=0，可得A（-2，0），B（2，0）．|PA|+|PB|=4r=8＞|AB|=4，可得动点P的轨迹是椭圆．
（3）l与直线

3

x-y+4=0平行，可设l的方程为：

3

x-y+m=0，把点B（2，0）代入可得直线l的方程为：

3

x-y-2

3

=0．与椭圆的方程联立可得C，D，即可得出|CD|．利用点到直线的距离公式可得原点O到直线l的距离d．利用△OCD的面积S=

1

2

d|CD|即可得出．

解答： 解：（1）∵以原点O为圆心，r为半径的圆与直线

3

x-y+4=0相切．
∴r=

4

( 3 )2+1

=2，
∴要求的圆的方程为：x²+y²=4．
（2）对于x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，可得A（-2，0），B（2，0）．
∵|PA|+|PB|=4r=8＞|AB|=4，
∴动点P的轨迹是椭圆：A，B为焦点，2a=8，a=4，b²=a²-c²=12．
∴动点P的轨迹方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．
（3）∵l与直线

3

x-y+4=0平行，可设l的方程为：

3

x-y+m=0，
把点B（2，0）代入可得m=-2

3

．
∴直线l的方程为：

3

x-y-2

3

=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立

3 x-y-2 3 =0 x2 16 + y2 12 =1

，
化为5x²-16x=0，
解得

x=0 y=-2 3

，

x= 16 5 y= 6 3 5

，
∴|CD|=

( 16 5 )2+(-2 3 - 6 3 5 )2

=

32

5

．
原点O到直线l的距离d=

2 3

2

=

3

．
∴△OCD的面积S=

1

2

d|CD|=

1

2

×

3

×

32

5

=

16 3

5

．

点评：本题考查了直线与圆相切的性质、椭圆的定义及其标准方程、平行直线的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．