Question

已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=

1

2

BC=2，AE=2，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：EG⊥平面BDF；
（3）求此多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AB∥平面DEG；
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明EG⊥平面BDF；
（3）根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体ABCDEF的体积．

解答： 证明：（1）∵AD∥EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD∥BG，且AD=BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（2）连结GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG?平面BCFE，
∴DF⊥EG，
∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，
∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，
又BF∩DF=F，BF?平面BFD，DF?平面BFD，
∴EG⊥平面BDF；                        
（3）V_ABCDEF=V_B-AEFD+V_D-BCF，作BH⊥EF于H，
∵平面AEFD⊥平面BEFC，
∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，
∴CF⊥平面BDF，
BH=

3

，VB-AEFD=

1

3

×

3

×2×2=

4 3

3

，
VD-BCF=VC-BFD=

1

3

×2×

1

2

×2×2

3

=

4 3

3

，
∴VABCDEF=

8

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，以及空间多面体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．