题目内容
椭圆x2+
=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．
（1）若l与x轴、y轴分别交于两点E，F，
=
，求直线l的方程：
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1k2，若k1：k2=2：1，求k的值．
（3）（理）设C（x1，y1），D（x2，y2），分别过C、D作斜率为-
和-
两条直线l1和l2．记l1和l2的交点为M，求△MCD面积的最小值．
| y2 |
| 4 |
（1）若l与x轴、y轴分别交于两点E，F，
| CE |
| FD |
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1k2，若k1：k2=2：1，求k的值．
（3）（理）设C（x1，y1），D（x2，y2），分别过C、D作斜率为-
| 4x1 |
| y1 |
| 4x2 |
| y2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设C（x1，y1），D（x2，y2），直线代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx-3=0，再由判别式和根与系数的关系可推导出所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）由题设知y12=4（1-x12），y22=4（1-x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2-10k+3=0，由此可推导出k的值．
（3）求出M的轨迹方程，结合图形，可得△MCD面积的最小值．
（2）由题设知y12=4（1-x12），y22=4（1-x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2-10k+3=0，由此可推导出k的值．
（3）求出M的轨迹方程，结合图形，可得△MCD面积的最小值．
解答：
解：（1）设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1
代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx-3=0，
△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，
x1+x2=-
，x1x2=-
由已知E（-
，0），F（0，1），
又
=
，所以（-
-x1，-y1）=（x2，y2-1），
所以-
-x1=x2，即x1+x2=-
所以-
=-
，解得k=±2，符合题意，
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）k1=
，k2=
，k1：k2=2：1，
所以
=2，
平方，结合x12+
=1，所以y12=4（1-x12），同理y22=4（1-x22），代入上式，
计算得
=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，
所以3k2-10k+3=0，解得k=3或k=
，
因为
=2，x1，x2∈（-1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=
，
所以k=3．
（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），分别过C、D作斜率为-
和-
两条直线l1和l2，方程为4x1x+y1y-4=0，4x2x+y2y-4=0，∴M的轨迹方程为y=4，
由y=1可得x=±
，∴CD∥x轴时，△MCD面积的最小值为
×
×3=
．
代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx-3=0，
△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，
x1+x2=-
| 2k |
| 4+k2 |
| 3 |
| 4+k2 |
由已知E（-
| 1 |
| k |
又
| CE |
| FD |
| 1 |
| k |
所以-
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
所以-
| 2k |
| 4+k2 |
| 1 |
| k |
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）k1=
| y2 |
| x2+1 |
| y1 |
| x1-1 |
所以
| y2(x1-1) |
| y1(x2+1) |
平方，结合x12+
| y12 |
| 4 |
计算得
| (1-x2)(1-x1) |
| (1+x1)(1+x2) |
所以3k2-10k+3=0，解得k=3或k=
| 1 |
| 3 |
因为
| y2(x1-1) |
| y1(x2+1) |
| 1 |
| 3 |
所以k=3．
（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），分别过C、D作斜率为-
| 4x1 |
| y1 |
| 4x2 |
| y2 |
由y=1可得x=±
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，是历年高考题的重要题型之一，解题时要注意计算能力的培养，注意积累解题方法．
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| ||
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C、
| ||
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