Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx，其中a＞0．
（1）若a=3．求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=3时，f（x）=

1

2

x²-3lnx；f′（x）=x-

3

x

；从而得到f（1）=

1

2

，f′（1）=1-3=-2；从而写出切线方程；
（2）求f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

；从而可确定函数f（x）在（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数；从而由题意得到方程组

f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= e2 2 -a＞0 1＜ a ＜e f( a )= a 2 -aln a ＜0

；从而解得．

解答： 解：（1）当a=3时，f（x）=

1

2

x²-3lnx；
f′（x）=x-

3

x

；
故f（1）=

1

2

，f′（1）=1-3=-2；
故曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为
y-

1

2

=-2（x-1）；
即，4x+2y-5=0；
（2）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

；
故当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）在（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数；
故由f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点知，

f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= e2 2 -a＞0 1＜ a ＜e f( a )= a 2 -aln a ＜0

；
解得，e＜a＜

e2

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及切线方程的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．