Question

8．设$A（-3，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$为抛物线C：y²=2px（x＞0）的准线上一点，F为C 的焦点，点P在C上且满足|PF|=m|PA|，若当m取得最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的标准方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为N，
由抛物线的定义，结合|PF|=m|PA|，可得m的值；
设PA的倾斜角为α，当m取最小值时cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，
利用双曲线的定义，求出双曲线的离心率．

解答 解：点A（-3，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）是抛物线C：y²=2px（p＞0）准线x=-$\frac{p}{2}$上的一点，
∴-$\frac{p}{2}$=-3，解得p=6；
∴抛物线的标准方程为y²=12x，
焦点为F（3，0），准线方程为x=-3；
过点P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，
∴|PN|=m|PA|，∴$\frac{|PN|}{|PA|}$=m；
如图所示，
设PA的倾斜角为α，则cosα=m，
当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切；
设直线PA的方程为y=kx+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，代入y²=12x，
可得$\frac{k}{12}$y²-y+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$=0，
∴△=1-4•$\frac{k}{12}$•（3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=0，
解得k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
可得切点P（2，±2$\sqrt{6}$）；
由题意可得双曲线的焦点为（-3，0），（3，0），
∴双曲线的实轴长为2a=$\sqrt{{（2+3）}^{2}{+（2\sqrt{6}）}^{2}}$-$\sqrt{{（2-3）}^{2}{+（2\sqrt{6}）}^{2}}$=7-5=2，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2×3}{2}$=3．
故选：A．

点评 本题考查抛物线、双曲线的定义与性质的应用问题，解题的关键是明确当m取得最小值时cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，是综合题．