Question

函数f（x）=ax³-3x²+1在区间[

1

2

，2]上存在唯一零点，则实数a取值范围

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：首先求出a=0时原函数的零点，说明a=0满足题意；然后求出a≠0时原函数的零点，分a＞0和a＜0分析原函数的单调性，结合函数零点存在性定理列式求得a的取值范围．

解答： 解：当a=0时，f（x）=-3x²+1，由f（x）=0，解得x=±

3

3

，

3

3

∈[

1

2

，2]，符合题意；
当a≠0时，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
可得函数f（x）有两个极值点0，

2

a

．
当a＜0时，

2

a

是函数的极小值点，0是函数的极大值点，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
要使函数f（x）=ax³-3x²+1在区间[

1

2

，2]上存在唯一零点，则

f( 1 2 )≥0 f(2)≤0

，
即

a 8 - 3 4 +1≥0 8a-12+1≤0

，解得：-2≤a＜0；
当a＞0时，

2

a

是函数的极小值点，0是函数的极大值点，
要使函数f（x）=ax³-3x²+1在区间[

1

2

，2]上存在唯一零点，
则

1 2 ≤ 2 a ≤2 f( 2 a )= 8 a2 - 12 a2 +1=0

①或

f( 2 a )= 8 a2 - 12 a2 +1＜0 f( 1 2 )•f(2)=( a 8 + 1 4 )(8a-11)＜0

②，
解①得：a=2．
解②得：0＜a＜

11

8

．
∴a=2或0＜a＜

11

8

．
综上，使函数f（x）=ax³-3x²+1在区间[

1

2

，2]上存在唯一零点的实数a的取值范围是[-2，

11

8

）∪{2}．
故答案为：[-2，

11

8

）∪{2}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了分类讨论的数学思想方法，
是中档题．