Question

若实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，则

y

x+1

的最大值为

 

，最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆，设

y

x+1

=k，即kx-y+k=0，进而根据圆心（2，0）到kx-y+k=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，即可得出结论．

解答： 解：方程x²+y²-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆．
设

y

x+1

=k，即kx-y+k=0，
由圆心（2，0）到kx-y+k=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由

|3k|

k2+1

=

3

，
解得k²=

1

2

．
所以k_max=

1

2

，k_min=-

1

2

．
故答案为：

1

2

，-

1

2

．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．