Question

三棱柱 ABC-A₁B₁C₁′中，∠ABC=90°，AA₁=AC=BC=2，A₁在底面ABC内的射影为AC的中点D．
（1）求证：BA₁⊥AC₁；
（2）求三棱锥 B₁-A₁DB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据直线平面的垂直得出BC⊥AC₁，再判断出四边形ACC₁A₁为菱形，即AC₁⊥A₁C，运用判断定理可得得证AC₁⊥平面A₁BC，BA₁⊥AC₁，
（2）转化体积问题）V B1-A1DB=V B-A1B1D=V D-A1BB1=

1

2

V C1-A1B1B=

1

2

VB-A1B1C=

1

6

V ABC-A1B1C1运用体积公式求解即可．

解答： （1）证明：∵A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∵BC?平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AA₁=CA，
∴四边形ACC₁A₁为菱形，即AC₁⊥A₁C，
∵A₁C，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵BA₁?平面A₁BC，
∴BA₁⊥AC₁，

（2）V B1-A1DB=V B-A1B1D=V D-A1BB1=

1

2

V C1-A1B1B=

1

2

VB-A1B1C=

1

6

V ABC-A1B1C1=

1

6

×2×2×

1

2

×

3

=

3

3

点评：本题考查了空间几何体的性质，运用直线平面的垂直的判断，性质，解决问题，求解体积，属于中档题．