Question

已知数列{a_n}的前n项和公式为S_n=

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₃

an

81

，求数列 {|b_n|}的前n项和T_n（其中，n≥5）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解．
（2）b_n=log₃

an

81

=log3

3n

81

=n-4，由此能求出数列 {|b_n|}的前n项和T_n（其中，n≥5）．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴当n=1时，a₁=S₁=

1

2

×3²-

3

2

=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

）-（

1

2

×3ⁿ⁺²-

3

2

）=3ⁿ，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=log₃

an

81

=log3

3n

81

=n-4，
令b_n≥0，即n-4≥0，得n≥4，
即第四项开始各项均非负，
∴当n≥5时，T_n=3+2+1+0+

(n-4)[1+(n-4)]

2

=

1

2

n2-

7

2

n+12．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项绝对值的和的求法，解题时要注意对数性质的合理运用．