Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．
（1）若|FA|=|AD|，当点A的横坐标为$3+2\sqrt{2}$时，△ADF为等腰直角三角形，求C的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线C，若点$D（{{x_0}，0}）（{{x_0}≥\frac{1}{2}}）$，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为（-x₀，0），并求点P到直线AB的距离d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的焦半径公式，求得FD的中点坐标，则$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2+$\frac{（2+\sqrt{2}）p}{4}$=3+2$\sqrt{2}$，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）设直线AB的方程，代入 抛物线方程，由向量平行即韦达定理，即可求得P点坐标，则△EPB为等腰直角三角形，则k_AP=1，由直线的斜率公式可得：y₁-y₂=4，两边平方（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，m²=1-x₀，x₀＜1，则d=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{2-{x}_{0}}}$，根据函数的单调性即可求得点P到直线AB的距离d的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知F（$\frac{p}{2}$，0），丨FA丨=3+2$\sqrt{2}$+$\frac{p}{2}$，丨FD丨=$\sqrt{2}$丨FA丨=3$\sqrt{2}$+4+$\frac{\sqrt{2}p}{2}$，
则D（3$\sqrt{2}$+4+$\frac{\sqrt{2}p}{2}$+$\frac{p}{2}$，0），FD的中点坐标（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2+$\frac{（2+\sqrt{2}）p}{4}$，0），
则$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2+$\frac{（2+\sqrt{2}）p}{4}$=3+2$\sqrt{2}$，解得：p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（2）由题意设AB的方程x=my+x₀，（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₂，-y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+{x}_{0}}\end{array}\right.$，消去x，整理得：y²-4my-4=0，
由x₀≥$\frac{1}{2}$，△=16m²+16x₀＞0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4x₀，
设P（x_P，0），则$\overrightarrow{PE}$=（x₂-x_P，-y₂），$\overrightarrow{PA}$=（x₁-x_P，y₁），
由$\overrightarrow{PE}$∥$\overrightarrow{PA}$，则（x₂-x_P）y₁+y₂（x₁-x_P）=0，即x₂y₁+y₂x₁=（y₁+y₂）x_P=$\frac{{y}_{2}^{2}{y}_{1}+{y}_{1}^{2}{y}_{2}}{4}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$，显然y₁+y₂=4m≠0，
∴x_P=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$=-x₀，即P（-x₀，0），
由题意可知△EPB为等腰直角三角形，
则k_AP=1，即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，则$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{\frac{1}{4}（{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}）}$=1，则y₁-y₂=4，
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，即16m²+16x₀=16，则m²=1-x₀，x₀＜1，
由x₀≥$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤x₀＜1，d=$\frac{丨-{x}_{0}-{x}_{0}丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{2-{x}_{0}}}$，
令$\sqrt{2-{x}_{0}}$=t∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]，则x₀=2-t²，d=$\frac{2（2-{t}^{2}）}{t}$=$\frac{4}{t}$-2t，
则f（t）=$\frac{4}{t}$-2t，在（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]上是减函数，
∴d∈[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查向量平行，函数单调性与抛物线的应用，考查计算能力，属于中档题．