Question

2．已知F₁、F₂分别为双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点，过原点的一条直线交双曲线C于A、B两点（点A位于第一象限），且满足AF₁⊥BF₁，则△AF₁F₂的内切圆圆心的横、纵坐标之和为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}+$1
• C． $\sqrt{7}$-1
• D． 2$\sqrt{7}$-3

Answer 1

分析 设内切圆的圆心为I，且内切圆与AF₁，AF₂，F₁F₂切于K，N，M，运用双曲线的定义和切线长相等，可得内切圆圆心I的横坐标，再由三角形的等积法，求得内切圆的半径r，即为内切圆圆心的纵坐标，即可得到所求和．

解答 解：设内切圆的圆心为I，且内切圆与AF₁，AF₂，F₁F₂切于K，N，M，
双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，①
由切线长相等，可得|AK|=|AN|，|F₁K|=|F₁M|，|F₂N|=|F₂M|，
即有|F₁K|-|F₂N|=2，即|F₁M|-|F₂M|=2，
由|F₁M|+|F₂M|=|F₁F₂|=4，
解得|F₂M|=1，
可得M（1，0），即有I的横坐标为1，
设内切圆的半径为r，
由AF₁⊥BF₁，可得AF₁⊥AF₂，
可得|AF₁|²+|AF₂|²=16，②
由①②可得|AF₁|+|AF₂|=2$\sqrt{7}$，|AF₁|•|AF₂|=6，
由等积法，可得$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|=$\frac{1}{2}$r（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|），
即有6=r（2$\sqrt{7}$+4），
解得r=$\sqrt{7}$-2，
可得△AF₁F₂的内切圆圆心的横、纵坐标之和为$\sqrt{7}$-2+1=$\sqrt{7}$-1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及内切圆的切线长定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．