Question

4．等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=3DC，则$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用向量的加法与减法法则把$\overrightarrow{AD}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开后得答案．

解答 解：如图，

∵A=90°，AB=AC=2，且BD=3DC，
∴$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$（\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AB}+AC）$=$（\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{3}{4}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法及减法法则，是中档题．