Question

16．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：
①f（x）=x²②f（x）=xe^x③$f（x）=\frac{x}{{{x^2}-x+1}}$④$f（x）=\frac{x}{{{e^x}+1}}$
其中函数f（x）为“期望函数”的是③④．（写出所有正确选项的序号）

Answer 1

分析 ①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，
②：同理①可判定；
对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，k≥$\frac{8064}{3}$．存在常数k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$对所有实数都成立；
对于④，同理③可判定；

解答 解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；
对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；
对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，∴k≥$\frac{8064}{3}$．∴存在常数k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；
对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=$\frac{|x|}{{e}^{x}+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，k≥2017，．∴存在常数k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；
故答案为：③④．

点评 本题考查了新定义函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．