题目内容
【题目】如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径为
海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险）,其中OB＝
海里,tan∠AOB＝
,cos∠AOD＝
,现一艘科考船以
海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.
（1）若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由；
（2）在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.
【答案】（1）快艇立即出发有触礁的危险,见解析；（2）3－
【解析】
(1) 以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.再设设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C, 根据余弦定理可解得
,继而得出直线AC的方程,判断出圆心到直线AC的距离小于半径,即可知有危险.
(2) 设快艇所走的直线
与圆B相切,且与科考船相遇于点E.根据圆心B到直线AC的距离为
可求得直线OD的方程为y＝2x.进而联立方程可求得E(50,100),再计算两船的时间差即可得x的最小值.
如图,以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.
因为OB＝20
,tan∠AOB＝
,OA＝100,所以点B(60,40),且A(100,0).
（1）设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,则OC＝10(t＋2),AC＝50t.
因为OA＝100,cos∠AOD＝
,所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD,
即(50t)2＝1002＋[10(t＋2)]2－2×100×10(t＋2)×.化得t2＝4,解得t1＝2,t2＝－2（舍去）,
所以OC＝40,因为cos∠AOD＝,所以sin∠AOD＝
,所以C(40,80),
所以直线AC的方程为y＝－
(x－100),即4x＋3y－400＝0.
因为圆心B到直线AC的距离d＝
＝8,而圆B的半径r＝8,
所以d＜r,此时直线AC与圆B相交,所以快艇有触礁的危险.
答：若快艇立即出发有触礁的危险.
（2）设快艇所走的直线与圆B相切,且与科考船相遇于点E.
设直线的方程为y＝k(x－100),即kx－y－100k＝0.
因为直线AE与圆B相切,所以圆心B到直线AC的距离d＝
＝,
即2k2＋5k＋2＝0,解得k＝－2或k＝－
. 由（1）可知k＝－舍去.
因为cos∠AOD＝,所以tan∠AOD＝2,所以直线OD的方程为y＝2x.
由
解得
所以E(50,100), 所以AE＝50,OE＝50,
此时两船的时间差为
－
＝5－,所以x≥5－－2＝3－.
x的最小值为
小时.
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