Question

【题目】已知椭圆C：（）．若，，，四点中有且仅有三点在椭面C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l分别与椭圆C交于M，N两点，，求证：直线，关于x轴对称．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据，两点关于原点对称，得到B，P均在椭圆上，再由点与点不关于x轴对称，得到在椭圆上求解.

（2）当直线l为x轴时，显然直线，关于x轴对称，当直线l不与x轴重合时，设l：，，，由联立，将韦达定理代入求解.

（1）因为，两点关于原点对称，

故B，P均在椭圆上，

而点与点不关于x轴对称，

故Q不在椭圆上，

因此，

且，

解得．

故椭圆C的标准方程为

（2）由（1）知，则，

当直线l为x轴时，显然直线，关于x轴对称；

当直线l不与x轴重合时，设l：，，，

由消去x整理得．

所以，．

因为

，

则，

即，

故直线，关于x轴对称

综上可知，直线，关于x轴对称．